 Rclipse - Education Point: MATHS

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## Relations Maths || Relations Maths Formula || Relations Formula || Ncert Solution In English || Ncert Solution || Maths Guru In English || Maths All Formulas

Important Terms, Definitions & Formulae

01. TYPES OF INTERVALS

a) Open interval : If a and b be two real numbers such that a  b then, the set of all the real numbers

lying strictly between a and b is called an open interval. It is denoted by  ] a , b[  or a , b i.e.,

x  R : a  x  b .

b) Closed interval : If a and b be two real numbers such that a b then, the set of all the real numbers lying between a and b such that it includes both a and b as well is known as a closed interval. It is denoted by a , b i.e., x R : a x b .

c) Open Closed interval : If a and b be two real numbers such that a b then, the set of all the real numbers lying between a and b such that it excludes a and includes only b is known as an open closed interval. It is denoted by a , b or a , b i.e., x R : a x b .
d) Closed Open interval : If a and b be two real numbers such that a b then, the set of all the real numbers lying between a and b such that it includes only a and excludes b is known as a closed open interval. It is denoted by a , b or  a , b i.e., x R : a x b .

RELATIONS

Defining the Relation : A relation R, from a non-empty set A to another non-empty set B is mathematically defined as an arbitrary subset of A B . Equivalently, any subset of A B is a relation from A to B.

Thus, R is a relation from A to BR   A × B

Ra , b : a  A, b  B .

Illustrations:

a) Let A   1, 2, 4 , B   4, 6 . Let R   (1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (4, 6) . Here R   A × B and therefore R is a relation from A to B.

b) Let A 1, 2, 3 , B 2, 3 , 5, 7 . Let R (2, 3), (3, 5), (5, 7) .

Here R A and therefore R is not a relation from A to B. Since (5, 7) but (5, 7) A B .

c) Let A1,1, 2 , B   1, 4, 9,10 . Let a R b means a 2    b then, R   ( 1,1), (1,1), (2, 4) .

Note the followings:

A relation from A to B is also called a relation from A into B. ( a , b) R is also written as aRb (read as a is R related to b).
Let A and B be two non-empty finite sets having p and q elements respectively.

Then n A B n A .n B pq . Then total number of subsets of A B 2 pq . Since each subset of A B is a relation from A to B, therefore total number of relations from A to B is given as 2 pq  .

03. DOMAIN & RANGE OF A RELATION

Domain of a relation : Let R be a relation from A to B. The domain of relation R is the set of all
those elements a A such that ( a , b) R for some b B . Domain of R is precisely written as Dom.( R) symbolically.

Thus, Dom.(R) a A : a , b R for some b B .

That is, the domain of R is the set of first component of all the ordered pairs which belong to R.

Range of a relation: Let R be a relation from A to B. The range of relation R is the set of all those elements b B such that ( a , b) R for some a A .

Thus, Range of R b B : a , b R for some a A .

That is, the range of R is the set of second components of all the ordered pairs which belong to R.

Codomain of a relation : Let R be a relation from A to B. Then B is called the codomain of the relation R. So we can observe that codomain of a relation R from A into B is the set B as a whole.

TYPES OF RELATIONS FROM ONE SET TO ANOTHER SET

Empty relation : A relation R from A to B is called an empty relation or a void relation from A to B if R φ

Universal relation : A relation R from A to B is said to be the universal relation if R  A  B .

RELATION ON A SET & ITS VARIOUS TYPES

A relation R from a non-empty set A into itself is called a relation on A. In other words if A is a non-empty set, then a subset of A A A2 is called a relation on A.

Illustrations : Let A 1, 2, 3 and R (3,1), (3, 2), (2,1) . Here R is relation on set A.

Identity relation : A relation R on a set A is said to be the identity relation on A if R   ( a , b ) : a  A, b  A and a  b .

Thus identity relation R ( a , a ) : a A .

The identity relation on set A is also denoted by IA

Reflexive relation : A relation R on a set A is said to be reflexive if a R a a A i.e.,

(a , a ) R a A .

NOTE The identity relation is always a reflexive relation but the opposite may or may not be true. As shown in the example above, R1 is both identity as well as reflexive relation on A but R2 is only reflexive relation on A.

Symmetric relation : A relation R on a set A is symmetric a , b   Rb , a   R  a , b  A i.e., a R b   b R a (i.e., whenever a Rb then, b Ra ).

Transitive relation :  A relation  R on  a set A  is b , c   Ra , c   R i.e., a R b and b R c   a R c .

Equivalence relation : Let A be a non-empty set, then a relation R on A is said to be an equivalence relation if

(i) R is reflexive i.e. ( a , a)  R  a  A i.e., a Ra .

(ii) R is symmetric i.e.  a , b   Rb , a   R  a , b  A i.e., a Rb   b Ra .

(iii) R is transitive i.e.  a , b   R and  b , c   Ra , c   R  a ,b, c  A i.e., a Rb and

b Rc a Rc .

For example, let A 1, 2, 3 ,  R (1, 2), (1,1), (2,1), (2, 2), (3, 3) . Here R is reflexive, symmetric and transitive. So R is an equivalence relation on A.

Equivalence classes : Let A be an equivalence relation in a set A and let a A . Then, the set of all those elements of A which are related to a , is called equivalence class determined by a and it is denoted by a . Thus, a b A : a, b A .

INVERSE RELATION
Let R A B be a relation from A to B. Then, the inverse relation of R,
to be denoted by R 1 , is a relation from B to A defined by R 1 ( b , a ) : ( a , b) R .

Thus (a , b) R (b, a ) R 1 a A, b B .

Clearly, Dom. R 1 Range of R, Range of R 1 Dom. R .
1
Also, R 1 R .

For example, let A 1, 2, 4 , B 3, 0  and let R (1, 3), (4, 0), (2, 3) be a relation from A to B then,

R 1 (3,1), (0, 4), (3, 2) .

## गोलीय कोश गणित (Spherical Shell Maths) || Goliy Kosh Maths In Hindi || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

गोलीय कोश (Spherical Shell) :

दो केंद्रित क्षेत्रों के बीच एक ठोस को गोलीय कोश कहा जाता है जब गोलीय कोश के लिए, R और r क्रमशः बाहरी और आंतरिक त्रिज्या हैं।

माना बाहरी गोले की त्रिज्या R तथा आन्तरिक गोले की त्रिज्या r  है तो

गोलीय कोश के लिये महत्वपूर्ण सूत्र  :

गोलीय कोश का आयतन                    =    4/3  π (R^3 - r^3)

गोलीय कोश  की आकृति :

## अर्द्धगोला गणित (Hemisphere Maths) || Ardhgola Maths In Hindi || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

अर्द्धगोला (Hemisphere ) :

किसी गोले के केन्द्र से होकर जाने वाला समतल उस गोले को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। इनमें से प्रत्येक भाग को अर्द्धगोला कहते है।

अर्द्धगोले के लिये महत्वपूर्ण सूत्र :

माना गोले की त्रिज्या r है तो

अर्द्धगोले  का आयतन               =       2/3 πr^3
वक्रपृष्ठ का क्षैत्रफल                 =       2πr²
सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षैत्रफल           =       3πr²

अर्द्धगोले की आकृति :

## गोला गणित (Sphere Maths) || Gola Maths In Hindi || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

गोला (Sphere) :

एसी सतह से घिरी आकृति, जिसमें सतह का प्रत्येक बिन्दु एक स्थिर बिन्दु से समान दूरी पर हो, गोला कहलाती है।

गोला के लिये महत्वपूर्ण सूत्र :

माना गोले की बाहरी त्रिज्या R तथा आन्तरिक त्रिज्या r है तो

गोले का आयतन                            =      4/3 πr^3
गोले का पृष्ठीय क्षैत्रफल                 =      4πr²
खोखले गोले का आयतन                =      4/3 π (R^3 - r^3)

गोले की आकृति :

## छिन्नक गणित (Frustum Maths) || Chinnak Maths In Hindi || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

छिन्नक (Frustum) :

शंकु के कुछ उपरी भाग को आधार के समान्तर समतल द्वारा काट देने पर बचे ठोस को छिन्नक कहते है।

शंकु बेलन के लिये महत्वपूर्ण सूत्र :

माना शंकु के आधार की r त्रिज्या तथा उंचाई h है तो

छिन्नक  का आयतन                       =     πh /3 [R² + r² + Rr]
छिन्नक की तीर्यक उंचाई    (l)         =      √h² + (R-r)²
वक्रपृष्ठ का क्षैत्रफल                        =       π(R + r)l
सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षैत्रफल                  =      π[(R + r) l + r² + R² ]

छिन्नक की आकृति :

## शंकु गणित (Cone Maths) || Cone Maths In Hindi || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

शंकु गणित (Cone Maths) :

शंकु एक त्रि-आयामी संरचना है, जो शीर्ष बिन्दु और एक आधार वृत्त को मिलाने वाली रेखाओं द्वारा निर्मित होती है। यह बेलन के 1/3 भाग के बराबर होता है।

शंकु बेलन के लिये महत्वपूर्ण सूत्र :
माना शंकु के आधार की r त्रिज्या तथा उंचाई h है तो

शंकु  का आयतन                      =      1/3 πr²h
शंकु की तीर्यक उंचाई    (l)        =      √r² + h²
वक्रपृष्ठ का क्षैत्रफल                 =       πrl
सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षैत्रफल           =      πr(l+r)

शंकु की आकृति:

अधिक जानकारी के लिये शंकु का वीडियो देखें :

## खोखला बेलन गणित (Hollow Cylinder Maths) || Khokhla Belan Maths In Hindi || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

खोखला बेलन (Hollow Cylinder) :

किसी वृत्त की परिधि पर लम्ब रूप से हमेशा अपने ही समान्तर किसी सरल रेखा के घूमने से जिस पिण्ड का निर्माण होता है, उसे समवृत्ताकार बेलन कहते है।

माना बेलन की बाहरी त्रिज्या R आन्तरिक त्रिज्या r तथा उंचाई h है तो

खोखले बेलन के लिये महत्वपूर्ण सूत्र :

खोखले बेलन का आयतन                    =      π (R² - r²) h
खोखले वक्रपृष्ठ का क्षैत्रफल                 =      2π(R - r) h

खोखले सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षैत्रफल           =      2π (R+r) (h+R-r)

खोखले बेलन की आकृति :

## बेलन गणित (Cylinder Maths) || Belan Maths In Hindi || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

बेलन (Cylinder) :

किसी वृत्त की परिधि पर लम्ब रूप से हमेशा अपने ही समान्तर किसी सरल रेखा के घूमने से जिस पिण्ड का निर्माण होता है, उसे समवृत्ताकार बेलन कहते है।

बेलन के लिये महत्वपूर्ण सूत्र :
यदि किसी बेलन के आधार वृत्त की त्रिज्या r तथा उंचाई h है तो

बेलन का आयतन                    =      πr²h
वक्रपृष्ठ का क्षैत्रफल                 =      2πrh
सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षैत्रफल           =      2πr(r+h)

बेलन की आकृति :

## घनाभ गणित (Cuboid Maths) || Ghanabh Ganit || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

घनाभ (Cuboid) :

छः पृष्ठों से घिरी वह आकृति जिसमें प्रत्ये पृष्ठ एक आयत होता है और सम्मुख पृष्ठ बराबर होते है, घन कहलाती है।

जैसे :- किताब, ईंट, माचिस की डिबिया इत्यादि।

घनाभ के लिये महत्वपूर्ण सूत्र :

घनाभ का आयतन                                 =  लंबाई×चौडाई×उंचाई
घनाभ के समस्त पृष्ठों का क्षैत्रफल         = 2 (लंबाई×चौडाई चौडाई×उंचाई उंचाई×लंबाई)
घनाभ का विकर्ण                                   = √(लंबाई² + चौडाई² + उंचाई²)

घनाभ की आकृति:

## घन गणित (Cube Maths) || Ghan Maths || Mensuration Maths || Easy Maths Tricks In Hindi || SSC || RPSC || IBPS

घन (Cube) :

छः पृष्ठों से घिरी वह आकृति जिसमें प्रत्येक पृष्ठ एक वर्ग होता है और सम्मुख पृष्ठ बराबर होते है, घन कहलाती है।

अथवा

छः फलकों व 12 भुजाओं की वह आकृति जिसकी लम्बाई, चैड़ाई, ऊँचाई सामान हो, वह आकृति घन कहलाती है।

घन के लिये महत्वपूर्ण सूत्र:

घन का आयतन                            =  (भुजा)²
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षैत्रफल      =   6 X (भुजा)²
घन का विकर्ण                               =   भुजा √3

घन की आकृति:

## Complete Trignometric Solution || Trignometric Function In English || Trignometric || Maths Guru || Maths Solution || Ncert Solution || Defence Exams Notes

TRIGONOMETRY

1. (α+в)²= α²+2αв+в²
2. (α+в)²= (α-в)²+4αв
3. (α-в)²= α²-2αв+в²
4. (α-в)²= (α+в)²-4αв
5. α² + в²= (α+в)² - 2αв.
6. α² + в²= (α-в)² + 2αв.
7. α²-в² =(α + в)(α - в)
8. 2(α² + в²) = (α+ в)² + (α - в)²
9. 4αв = (α + в)² -(α-в)²
10. αв ={(α+в)/2}²-{(α-в)/2}²
11. (α + в + ¢)² = α² + в² + ¢² + 2(αв + в¢ + ¢α)
12. (α + в)³ = α³ + 3α²в + 3αв² + в³
13. (α + в)³ = α³ + в³ + 3αв(α + в)
14. (α-в)³=α³-3α²в+3αв²-в³
15. α³ + в³ = (α + в) (α² -αв + в²)
16. α³ + в³ = (α+ в)³ -3αв(α+ в)
17. α³ -в³ = (α -в) (α² + αв + в²)
18. α³ -в³ = (α-в)³ + 3αв(α-в)

ѕιη0° =0
ѕιη30° = 1/2
ѕιη45° = 1/√2
ѕιη60° = √3/2
ѕιη90° = 1
¢σѕ ιѕ σρρσѕιтє σƒ ѕιη
тαη0° = 0
тαη30° = 1/√3
тαη45° = 1
тαη60° = √3
тαη90° = ∞
¢σт ιѕ σρρσѕιтє σƒ тαη
ѕє¢0° = 1
ѕє¢30° = 2/√3
ѕє¢45° = √2
ѕє¢60° = 2
ѕє¢90° = ∞
¢σѕє¢ ιѕ σρρσѕιтє σƒ ѕє¢

2ѕιηα¢σѕв=ѕιη(α+в)+ѕιη(α-в)
2¢σѕαѕιηв=ѕιη(α+в)-ѕιη(α-в)
2¢σѕα¢σѕв=¢σѕ(α+в)+¢σѕ(α-в)
2ѕιηαѕιηв=¢σѕ(α-в)-¢σѕ(α+в)
ѕιη(α+в)=ѕιηα ¢σѕв+ ¢σѕα ѕιηв.
» ¢σѕ(α+в)=¢σѕα ¢σѕв - ѕιηα ѕιηв.
» ѕιη(α-в)=ѕιηα¢σѕв-¢σѕαѕιηв.
» ¢σѕ(α-в)=¢σѕα¢σѕв+ѕιηαѕιηв.
» тαη(α+в)= (тαηα + тαηв)/ (1−тαηαтαηв)
» тαη(α−в)= (тαηα − тαηв) / (1+ тαηαтαηв)
» ¢σт(α+в)= (¢σтα¢σтв −1) / (¢σтα + ¢σтв)
» ¢σт(α−в)= (¢σтα¢σтв + 1) / (¢σтв− ¢σтα)
» ѕιη(α+в)=ѕιηα ¢σѕв+ ¢σѕα ѕιηв.
» ¢σѕ(α+в)=¢σѕα ¢σѕв +ѕιηα ѕιηв.
» ѕιη(α-в)=ѕιηα¢σѕв-¢σѕαѕιηв.
» ¢σѕ(α-в)=¢σѕα¢σѕв+ѕιηαѕιηв.
» тαη(α+в)= (тαηα + тαηв)/ (1−тαηαтαηв)
» тαη(α−в)= (тαηα − тαηв) / (1+ тαηαтαηв)
» ¢σт(α+в)= (¢σтα¢σтв −1) / (¢σтα + ¢σтв)
» ¢σт(α−в)= (¢σтα¢σтв + 1) / (¢σтв− ¢σтα)
α/ѕιηα = в/ѕιηв = ¢/ѕιη¢ = 2я

» α = в ¢σѕ¢ + ¢ ¢σѕв
» в = α ¢σѕ¢ + ¢ ¢σѕα
» ¢ = α ¢σѕв + в ¢σѕα
» ¢σѕα = (в² + ¢²− α²) / 2в¢
» ¢σѕв = (¢² + α²− в²) / 2¢α
» ¢σѕ¢ = (α² + в²− ¢²) / 2¢α
» Δ = αв¢/4я

» ѕιηΘ = 0 тнєη,Θ = ηΠ
» ѕιηΘ = 1 тнєη,Θ = (4η + 1)Π/2
» ѕιηΘ =−1 тнєη,Θ = (4η− 1)Π/2
» ѕιηΘ = ѕιηα тнєη,Θ = ηΠ (−1)^ηα

1. ѕιη2α = 2ѕιηα¢σѕα
2. ¢σѕ2α = ¢σѕ²α − ѕιη²α
3. ¢σѕ2α = 2¢σѕ²α − 1
4. ¢σѕ2α = 1 − ѕιη²α
5. 2ѕιη²α = 1 − ¢σѕ2α
6. 1 + ѕιη2α = (ѕιηα + ¢σѕα)²
7. 1 − ѕιη2α = (ѕιηα − ¢σѕα)²
8. тαη2α = 2тαηα / (1 − тαη²α)
9. ѕιη2α = 2тαηα / (1 + тαη²α)
10. ¢σѕ2α = (1 − тαη²α) / (1 + тαη²α)
11. 4ѕιη³α = 3ѕιηα − ѕιη3α
12. 4¢σѕ³α = 3¢σѕα + ¢σѕ3α

» ѕιη²Θ+¢σѕ²Θ=1
» ѕє¢²Θ-тαη²Θ=1
» ¢σѕє¢²Θ-¢σт²Θ=1
» ѕιηΘ=1/¢σѕє¢Θ
» ¢σѕє¢Θ=1/ѕιηΘ
» ¢σѕΘ=1/ѕє¢Θ
» ѕє¢Θ=1/¢σѕΘ
» тαηΘ=1/¢σтΘ
» ¢σтΘ=1/тαηΘ
» тαηΘ=ѕιηΘ/¢σѕΘ

## क्रमचय गुणन (Permutation multiplication) Maths || Kramchay Gunan Maths || Krmchay Gunan Maths || Krmchy Gunan Physics || Physics Solution || Physics Guru || Maths Guru || Ncert Solution || Defense Exams Notes

क्रमचय गुणन (Permutation multiplication)
Maths

यदि समुच्चय S में n भिन्न - भिन्न अवयव है तो समुच्चय S के क्रमचयों की संख्या n! होगी। इसमें से यदि f तथा g दो क्रमचय है तो क्रमचय की परिभाषानुसार f तथा g दोनों समुच्चय S के स्वयं पर एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, इसलिये संयुक्त फलन gof तथा fog समुच्चय S पर परिभाषित होंगे जो कि स्वयं समुच्चय S पर एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रण है, अतः किसी x ∈ S के लिये

(gof)(x) = g [f(x)]
तथा            (fog)(x) = f [g(x)]

यहां gof तथा fog क्रमशः g तथा f और f तथा g का क्रमचय गुणन कहलाते है। हम gof को gf तथा fog को fg से निरूपित करते है। अतः gf  तथा fg, n अशांक के क्रमचय है।

## f को असंयुक्त चक्रों के गुणनफल के रूप में लिखिये तथा f की कोटि || f Ki Koti Ghyat Krna || Maths Guru || Ncert Solution || Maths Solution || Defense Exams Notes

f को असंयुक्त चक्रों के गुणनफल के रूप में लिखिये तथा f की कोटि तो f को असंयुक्त चक्रों के गुणनफल के रूप में लिखिये तथा f की कोटि ज्ञात कीजिये ?

= (145)(263)(78)

जो कि असंयुक्त चक्रों के गुणनफल के रूप में है।
f की कोटि

o(f) = o (145), o(263) तथा o(78) का ल.स.प.

= 3, 3  तथा 2 का ल.स.प.

## प्रदर्शित कीजिये की समुच्च्य G = {0,1,2,3,4} संक्रिया + के लिये क्रमविनिमेय समूह है ? Algebra Maths || Display that the set G = {0,1,2,3,4} is the orderly group for operation +? Algebra Maths || Algebra Maths Solution || Maths Guru || Ncert Solution

Algebra Maths
(बीजगणित)

प्रदर्शित कीजिये की समुच्च्य G = {0,1,2,3,4} संक्रिया + के लिये क्रमविनिमेय समूह है ?

Display that the set G = {0,1,2,3,4} is the orderly group for operation + ?

जहां संक्रिया +, निम्न प्रकार परिभाषित है
a + 5b = { a + 5 यदि a + b > 5
{ a+ b - 5 यदि a + b > 5

हल :-

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि :-
1. संवृतता :- संक्रिया सारणी के सभी अवयव जी में विद्यमान है, अतः +5 गुणन संक्रिया G में संवृत है।

2 . साहचर्यता :- समुच्चय G में संक्रिया +5 का आधार संख्याओं के योग की संक्रिया है, जो कि सहचारी होता है इसलिये समुच्चय G में संक्रिया सहचारी होगी ।

3 . तत्समक अवयव का अस्तित्व :- संक्रिया में प्रथम पंक्ति तथा प्रथम स्तम्भ से स्पष्ट है कि समुच्च्य के अवयव 0,1,2,3,4 की 0 से संक्रिया होने पर पुनः यही अवयव आते है, इसलिये G में संक्रिया +5 के लिये 0 तत्समक अवयव होगा ।

4 . प्रतिलोम अवयव का अस्तित्व :- संक्रिया सारणी से स्पष्ट है कि 0,1,2,3,4 के प्रतिलोभ क्रमशः 0,4,3,2,1 है, इसलिये G में प्रत्येक अवयव के प्रतिलोम का अस्तित्व है।

5 . क्रमविनिमेय :- संक्रिया सारणी में प्रत्येक पंक्ति उसके संगत स्तम्भ के संरूप है अतः संक्रिया +5, G में क्रमविनिमेय है।

अतः (G] +5) एक परिमित क्रमविनिमेय समूह है।

यहां O (G, +5) एक परिमित क्रमविनिमेय समूह है।

## संकारक (Operator) Maths || Operator Mathematics || Sankarak Maths || Sankarak Mathematics || Maths Solution || Maths Guru || Ncert Solution

संकारक (Operator)

संकारक (Operator) :-

संकारक की परिभाषा (Defination Of Operator) :-

क्वांटम यांत्रिकी की अवधारणा के अनुसार प्रत्येक क्वांटम अवस्था बहुत सी उपअवस्थाओं का रेखिक संयोजन होती है।

जैसे कि एक छात्र ( अवस्था ) में भिन्न - भिन्न गुण अलग - अलग अनुपातों में हो सकते है, वह पढने में बहुत होशियार हो सकता  है, पढाई के साथ - साथ उसे संगीत की जानकारी भी हो सकती है, वह एक अच्छा खिलाड़ी भी हो सकता है आदि।

छात्र के यह सभी गुण विभिन्न अवस्थाओं को प्रदर्शित करते है।

अब यदि हम यह भी जानना चाहे कि छात्र पढने में कितना होशियार है, तो उसकी विभिन्न विषयों की परीक्षा लेनी होगी। इस परीक्षा से प्राप्त अंक ही उसकी कक्षा में होशियारी या कक्षा में स्थान का निर्धारण करेंगे।

इस प्रकार छात्र की परीक्षा एक संकारक है, जिसकी संक्रिया के द्वारा छात्र की किसी भी उपअवस्था का ज्ञान व उसकी मात्रा का निर्धारण किया जा सकता है।

संकारक के संकेत के लिये अक्षर पर कैरेट ( ^ ) अर्थात काकपद या लोप चिह्न का उपयोग करते है।

## सरल आवर्त गति (simple harmonic motion) Maths || simple harmonic motion Mathematics || Saral Aavrt Gati Maths || Maths Guru || Maths Solution || Ncert Solution

सरल आवर्त गति (simple harmonic motion)

सरल आवर्त गति :-

जब कोई कण एक सरल रेखा में एक एसे बल के अधीन गमन करें जो सरल रेखा पर स्थित किसी स्थिर बिन्दु से कण की दूरी के समानुपाती हो तथा जो सदैव उस बिन्दु की ओर दिष्ट (Directed) हो तो कण की गति को सरल आवर्त गति कहते है।

इसे संक्षेप में स.आ.ग. (S.H.M.) लिखते है। स्थिर बिन्दु गति केन्द्र कहलाता है।

व्यापक रूप से सरल आवर्त गति में निम्न तीन विशेषताऐं होती है :-

1. कण सरल रेखा में गति करता है।

2. कण की गति सदैव मूल बिन्दु की ओर दिष्ट होती है।

3. त्वरण सरल रेखा पर स्थित स्थिर बिन्दु से कण की दूरी के समानुपाती होता है।

## बलों की संचरणशीलता का सिद्धान्त (Principle Of Transmissibility Of Forces) Maths || Balo Ki Sancharan Shilta Ka Sidhant Maths || Principle Of Transmissibility Of Forces Mathematics || Maths Guru || Maths Solution || Ncert Solution

बलों की संचरणशीलता का सिद्धान्त
(Principle Of Transmissibility Of Forces)

बलों की संचरणशीलता का सिद्धान्त :-
(Principle Of Transmissibility Of Forces) :-

यदि एक दृढ पिण्ड के किसी बिन्दु पर कोई बल क्रियाशील हो, तो उसे उसकी क्रियारेखा के अन्य किसी बिन्दु पर क्रियाशील माना जा सकता है। यदि वह बिन्दु या तो पिण्ड का कोई बिन्दु हो या दोनों बिन्दु एक दुसरे से दृढता से जुड़े हुए हो।

अन्य सम्मिलित आवश्यक परिभाषाऐं